Technology Rain Journal ISSN: 2953-464X
Vol. 4 Núm. 2 (Julio – Diciembre 2025),e90.
https://technologyrain.com.ar/
Artículo de Investigación Original
Sobre la existencia y el número de raíces cuadradas de una matriz
On the existence and number of square roots of matrices
Paúl Freire Díaz
1[0000-0002-0657-9717]
, Henry Mauricio Villa Yánez
2[0000-0003-4076-5211]
,
Sonia Ríos-Alvares
3[0009-0009-7726-9212]
, Richard Miguel García Ríos
4[0009-0005-7589-8366]
,
Ximena López-Mendoza
5[0000-0002-9564-6300]
1
Universidad Nacional de Chimborazo – Ecuador, jpfreire@unach.edu.ec.
2
Universidad Nacional de Chimborazo – Ecuador, hvilla@unach.edu.ec,
3
Investigadora Independiente – Ecuador, soniariosrbba@gmail.com,
4
Investigador Independiente – Ecuador, richgar14@gmail.com,
5
Universidad Estatal de Milagro – Ecuador, xlopezm2@unemi.edu.ec
CITA EN APA:
Freire Diaz, P., Villa Yánez, H. M.,
Ríos-Alvares, S., García Ríos, R. M.,
& López-Mendoza, X. (2025). Sobre
la existencia y el número de raíces
cuadradas de una matriz.
Technology Rain Journal, 4(2).
https://doi.org/10.55204/trj.v4i2.e90
Recibido: 05 de Junio-2025
Aceptado: 18 de septiembre-2025
Publicado: 07 de octubre-2025
Technology Rain Journal
ISSN: 2953-464X
Resumen.
A diferencia de con los escalares, calcular las raíces cuadradas de una matriz,
determinar su existencia y su cantidad no es sencillo. Centrado en la ecuación
matricial
, el presente trabajo trató tres aspectos: la existencia de matrices
que carecen de raíces cuadradas, matrices con un número finito de raíces
cuadradas y matrices que admiten infinitas raíces. Se realizaron demostraciones
analíticas con ejemplos representativos usando proposiciones, teoremas de
álgebra lineal y contraejemplos, además de una validación empírica para cada
caso usando algoritmos computacionales. Los resultados muestran que no es
posible encontrar raíces cuadradas de matrices defectivas; las matrices
diagonalizables con sus autovalores distintos entre sí tienen exactamente
soluciones y, que de una matriz identidad se pueden encontrar un número infinito
de raíces. La metodología usada parte de un análisis teórico para posteriormente
realizar una verificación computacional, con la intensión de que este estudio sea
replicable y establecer una base para investigaciones sobre ecuaciones
matriciales de orden superior con aplicaciones en múltiples áreas.
Palabras Clave: Matrices, Raíces de una Matriz, Álgebra Lineal.
.
Los contenidos de este artículo están
bajo una licencia de Creative
Commons Attribution 4.0
International (CC BY 4.0 )
Los autores conservan los derechos
morales y patrimoniales de sus obras.
Abstract:
Unlike the scalar case, calculating the square roots of a matrix — as well as
determining their existence and number — is not straightforward. Focusing on
the matrix equation
, this work addresses three main aspects: the
existence of matrices that lack square roots, matrices with a finite number of
square roots, and matrices that admit infinitely many. Analytical demonstrations
with representative examples were carried out using propositions, linear algebra
theorems, and counterexamples, along with empirical validation for each case
through computational algorithms. The results show that defective matrices do
not have square roots, diagonalizable matrices with all distinct eigenvalues have
exactly
solutions, and the identity matrix has an infinite number of roots. The
combination of theoretical analysis and computational verification makes this
study reproducible and provides a foundation for further research on higher-
order matrix equations with applications in various fields
Keywords: Matrices, Matrix Roots, Linear Algebra
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1. INTRODUCCIÓN
Es la raíz cuadrada de una matriz
toda matriz donde se cumple que:
A diferencia de la raíz cuadrada de un escalar, una matriz podría no tener ninguna raíz
cuadrada, o tener un número finito o infinito de éstas (Amat et al., 2015; Lin & Liu, 2001). Obtener
las raíces cuadradas de una matriz es una tarea compleja, y si se trata de matrices de gran dimensión
resulta imprescindible recurrir a programas y algoritmos numéricos e informáticos (Sherif, 1991).
Sobre el tema de la presente investigación muchos textos modernos de álgebra lineal tratan
breve o únicamente mencionando su aplicación dentro de procesos de cálculo o de métodos
numéricos (Asmar Charris & Menco Mendoza José T., 1995; Rubiales Camino, 2005), aunque
existen algunos trabajos muy detallados como (Higham, 1997, 2008) que han sido ampliamente
referenciados en esta área.
El cálculo de las raíces cuadradas de matrices se encuentra inmerso en muchos problemas
de ingeniería, ciencia, e incluso de salud. Dentro del control automático (Aguado, 2006) usa este
concepto para lograr eficiencia computacional y robustez en sistemas de control. En (Higham &
Lin, 2011) se analiza el uso de matrices de transición para representar las probabilidades de cambios
en la calificación crediticia en un intervalo de tiempo, generalmente anual; pero cuando se requiere
estudiar esto a plazos de tiempo menores, es necesario obtener las raíces cuadradas de la matriz
anualizada. Esta misma situación aparece en modelos de progresión de enfermedades crónicas.
En (Nazari et al., 2013) se realizan demostraciones a través de ejemplos resueltos
manualmente de la obtención de las raíces cuadradas de matrices de orden 2 y 3, lo que permite
entender conceptos básicos de matrices y sus operaciones. Empleando la teoría de funciones de
matrices, (Higham & Lin, 2011) obtienen criterios de existencia y caracterización de raíces reales y
estocásticas.
El objetivo de este artículo es mostrar, con casos particulares y usando conceptos elementales
de álgebra lineal, que una matriz
puede tener un número finito o infinito de raíces
cuadradas o incluso no tener ninguna. Para esto, se exponen 3 acápites: Inexistencia de raíces
cuadradas para ciertas matrices, existencia de matrices con número finito de raíces cuadradas y,
existencia de matrices con infinitas raíces cuadradas.
2. METODOLOGÍA
La metodología principal empleada es deductiva y teórico matemática. Partiendo de axiomas
y teoremas del álgebra lineal y mediante inferencia lógica, se llega a conclusiones particulares sobre
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la existencia y el número de raíces cuadradas de una matriz. Este estudio caracteriza la ecuación
matricial
donde
, desde tres puntos de vista: en primer lugar, se muestra con un
caso particular que existen matrices que no poseen ninguna raíz cuadrada. En segundo lugar,
siguiendo la misma lógica, se muestra un caso en el cual existen exactamente
raíces cuadradas
distintas, para finalmente con el ejemplo de la matriz de la identidad
mostrar que se la matriz
puede tener un infinito número de raíces cuadradas. Para esto se usaron proposiciones formales,
contraejemplos, resultados validados en investigaciones similares y en teoremas clásicos con
demostraciones publicadas y citadas.
Se añade al tratamiento analítico un componente computacional con el fin de corroborar los
resultados matemáticos, utilizando algoritmos (scripts) de MATLAB versión R2023a para
automatizar la verificación de la existencia de una, ninguna o infinitas raíces cuadradas de matrices
siguiendo los criterios descritos analíticamente. Al usar estos enfoques, analítico y computacional,
se puede contrastar y comprobar la validez de los resultados.
Inexistencia de raíces cuadradas para ciertas matrices
Si A es una matriz invertible compleja, siempre tendrá raíces cuadradas, pero las matrices
singulares (es decir, las que no tienen inversa) podrían no tenerla (Gallier, 2011). Según (R. A. Horn
& Johnson, 2012) “una matriz A posee raíces cuadradas si y solo si en la descomposición de Jordan
de ningún autovalor presenta dos bloques consecutivos del mismo tamaño impar”. También
(Higham, 1997) afirma que la inexistencia de raíces cuadradas depende directamente de la estructura
de Jordan y que además cuando A es defectiva, es decir no es diagonalizable y no admite un conjunto
completo de vectores propios linealmente independientes, la existencia de raíces cuadradas se ve
aún más restringida.
Lo anterior se puede mostrar con una matriz concreta A para la cual la ecuación matricial
no tiene solución en
.
Un ejemplo clásico de matriz sin raíces cuadradas es el bloque de Jordan
:
Es decir, de tamaño 2 con valor propio , que además es una matriz nilpotente de orden
2, es decir que al elevarlo a la potencia 2 resulta una matriz nula y que hay un solo bloque impar de
tamaño 2 para .
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Se utiliza esta matriz como ejemplo porque es el bloque nilpotente más pequeño que no es
trivial. El caso trivial es
, pero usarlo no permite obtener nueva información, ya que
siempre es su propia raíz cuadrada.
Suponiendo que existen las matrices:
Tal que
, entonces:
Por la condición impuesta inicialmente,
De donde se obtiene el sistema de ecuaciones:
Realizando el análisis del sistema:
1. De se factoriza
Si , entonces
2. Con
y se obtiene
.
Si segunda ecuación da , produciéndose una contradicción.
Si , la primera ecuación se convierte en
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Siendo esto coherente, pero la segunda ecuación exige
, lo que es
una contradicción.
3. Si , entonces la tercera ecuación da .
La segunda ecuación se reduce a , pero al resolver la primera se tiene que
, volviéndose esto imposible.
El sistema es incompatible; no existe para
. Por lo tanto, en este caso
no admite raíces cuadradas, demostrando la existencia de matrices que no poseen raíces cuadradas.
Este hallazgo puede aplicarse a bloques de Jordan de mayor dimensión. Sea
el bloque
de Jordan nilpotente con unos en la superdiagonal:
Asumiendo que satisface
, entonces se tendría:
para todo i
Es decir, sus diagonales deberían anularse, lo que no sucede al existir valores de 1 en la
superdiagonal.
Existencia de Matrices con número finito de raíces
Una matriz que tiene todos sus autovalores diferentes se conoce como matriz diagonalizable
con espectro simple, debido a que cada valor propio es simple, lo que garantiza que se puede
diagonalizar utilizando un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes. En
(Higham, 1987), se muestra el por qué una matriz con espectro simple tiene exactamente
raíces
cuadradas distintas, que es un valor finito. Así mismo, en (Asmar Charris & Menco Mendoza José
T., 1995) se muestra que toda matriz diagonizable tiene raíces cuadradas.
Es necesario para evitar posibles singularidades en la demostración considerar que los
autovalores son no nulos. Por ejemplo, una matriz diagonal:
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tiene exactamente cuatro raíces cuadradas distintas:
.
Siendo
una matriz diagonalizable, la demostración de la existencia de matrices
con un número finito de raíces se realiza a partir de:
,
donde
• P es una matriz invertible, cuyas columnas son los autovectores de
•
(es decir, con autovalores simples)
•
(evitando singularidades).
Partiendo de la ecuación matricial
,
multiplicándola a la derecha por y pasando a
restar a la izquierda tenemos:
Lo que permite concluir que cualquiera de las raíces cuadradas conmuta con A. Un operador
que conmuta con una matriz diagonalizable de autovalores simples es polinomio en ella, debido a
que los autovalores de son distintos, y por tanto el álgebra conmutante de está formada
únicamente por los polinomios en (R. Horn & Johnson, 1985).
Siendo un polinomio en la variable indeterminada , con grado menor que , con
coeficientes pertenecientes al cuerpo de los números complejos:
,
,
deg(p)
Esto significa que el polinomio (de grado ) se aplica a la matriz , evaluando cada
potencia
como
. De este modo queda expresado como combinación lineal de
.
En la base que diagonaliza a , tanto como son matrices diagonales:
La igualdad
en la base diagonal se reduce a un sistema escalar independiente para
cada autovalor:
Entonces, cada ecuación escalar admite exactamente dos soluciones:
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Debido a que para cada autovalor
se tiene dos independientes elecciones de signo para
cada =1, …n, entonces hay
combinaciones posibles. Ningún otro existe, porque
todas las raíces cuadradas deben pertenecer al álgebra conmutante. En resumen, el número de raíces
cuadradas es finito y exactamente
, siempre que sea diagonalizable con valores propios simples
distintos de 0.
Existencia de matrices con infinitas raíces cuadradas
En el trabajo de (van Rensburg et al., 2020) se demuestra que una matriz no negativa tiene
raíces cuadradas si y solo si no tiene valores propios negativos y no tiene bloques de Jordan de
tamaño dos asociados al valor propio cero. Esto implica que debe ser diagonalizable y que sus
bloques de Jordan asociados al valor propio cero son de tamaño uno. Estas condiciones se verifican
en cualquier matriz identidad
, que ya es diagonal con cada valor propio 1 con un bloque de Jordan
de tamaño 1 y no posee bloques de tamaño 2 o mayores.
Partiendo del ejemplo concreto de la matriz identidad
se puede mostrar la existencia de
una matriz con un número infinito de raíces cuadradas, lo que posteriormente permite deducir un
principio general. Sea la matriz identidad de orden 2:
Y definiendo para cada ángulo
, la matriz:
Se puede comprobar que
Debe tomarse en cuenta que:
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Y por tanto como son raíces cuadradas de
, ya que si
entonces
también
.
Así en este ejemplo cada matriz
es una raíz cuadrada de la matriz identidad
, debido
a que el ángulo puede tomar valores del intervalo continuo
, y si
entonces
se tendrá que
, y el conjunto
incluye un continuo de raíces
cuadradas que son todas diferentes entre sí, demostrando que
tiene infinitas raíces cuadradas.
La razón es que
tiene un único autovalor con multiplicidad algebraica , implicando
que su subespacio propio sea de dimensión 2, lo que permite rotar libremente la base.
Consecuentemente para cualquier matriz ortogonal con
obtenemos que es la raíz
cuadrada de
. Así, las infinitas involuciones que existen en cualquier espacio de dimensión
generan un continuo de raíces cuadradas. Esto se observa nuevamente revisando un ejemplo
concreto en
, en una función dada donde para cada ángulo se define la reflexión respecto
a la recta que forma ángulo con el eje :
Con un procedimiento análogo al primer ejemplo, se demuestra la igualdad:
Calculemos
:
Se puede verificar que es ortogonal (es decir que su transpuesta es su inversa), que
, y que al variar se obtiene una familia continua de raíces cuadradas de
, tal cual
como con
pero con el parámetro 2θ. Esto muestra que no importa la forma exacta de
parametrización, siempre que el bloque actúe en un subespacio propio de dimensión de lugar a
familias continuas de raíces cuadradas.
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Tras el desarrollo del análisis deductivo referente a la ecuación matricial
, se
establecen tres resultados: Existen (i) matrices sin raíces cuadradas, (ii) matrices con número finito
de raíces cuadradas, y (iii) matrices con un conjunto infinito de raíces cuadradas.
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Para respaldar empíricamente estos resultados, se implementaron algoritmos en MATLAB
que automatizan la demostración con la posibilidad del uso de matrices de mayor dimensión a las
utilizadas en la demostración analítica. Se incluyen los códigos con la intensión de proporcionar un
medio para replicar y analizar de forma independiente los hallazgos descritos.
3.1 No de todas las matrices se puede obtener al menos una raíz cuadrada: Un único bloque
nilpotente impar, como por ejemplo el bloque de Jordan
hace imposible encontrar
con
.
Esto se puede visualizar usando el Algoritmo 1 en MATLAB, que construye una matriz
de orden arbitrario, con ceros en la diagonal y unos en la superdiagonal inmediata. El
parámetro n por defecto se establece n=3, pero puede ser ingresado por el usuario, debiendo ser un
número natural mayor a 2. Como muestra, se analiza a continuación el resultado del algoritmo con
el valor por defecto de n.
Algoritmo 1. Demostración con cálculo simbólico en MATLAB de la inexistencia de X tal
que
, para n >=2.
% no_root_Jordan.m
function no_root_Jordan(n)
if nargin<1, n=3; end
if n<2, error('n debe ser >= 2'); end
% Bloque de Jordan J_n(0)
J = sym(zeros(n));
for i=1:n-1, J(i,i+1)=1; end
% Matriz simbólica X triangular superior
X = sym('x',[n n]);
for i=1:n, for j=1:i-1, X(i,j)=0; end, end
% Calcular X^2
S = simplify(X*X);
% Ecuaciones diagonales: obligan a X_ii = 0
diag_eqs = arrayfun(@(k) S(k,k)==0,1:n,'UniformOutput',false);
% Sustituir X_ii=0 en la primera superdiagonal
subs_from = diag(X).';
superdiag = simplify(subs(S(1,2),subs_from,zeros(1,n)));
fprintf('Bloque J_%d(0):\n',n); disp(J);
fprintf('Después de imponer X_ii=0:\n');
fprintf('(X^2)(1,2) = %s, pero J(1,2) = 1\n',char(superdiag));
fprintf('=> Contradicción: no existe raíz cuadrada.\n');
end
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Con las condiciones mencionadas, el Algoritmo 1 construye una matriz
y también una
matriz X simbólica triangular superior, dado que si existiera una raíz cuadrada de una matriz
triangular de cualquier
debería poderse triangularizar:
A continuación, se calcula
(simbólica), obteniéndose:
Las ecuaciones diagonales deben cumplir que las entradas diagonales deben ser cero tal cual
, pero en función de que el valor de
en la entrada (1,2) es 1, se tiene:
En la parte final del algoritmo se describe las imposiciones iniciales
;
pero se tiene que la primera entrada J(1,2) es 1. Siendo esto contradictorio, se demuestra que no
existe X tal que
. Finalmente, el algoritmo arroja la conclusión automática:
“Contradicción: no existe raíz cuadrada”, lo que concuerda con el desarrollo analítico.
3.2 La cantidad posible de raíces depende únicamente de si los autovalores de son todos
distintos o están repetidos. Si se tiene valores propios todos distintos implica exactamente un
número finito de
raíces.
El Algoritmo 2, codificado en MATLAB, encuentra las raíces cuadradas de matrices de
cualquier dimensión que cumplan las condiciones descritas, siguiendo el proceso analítico usado en
el apartado anterior: construye una matriz
con autovalores distintos y no nulos, para
luego con una función recursiva generar todas las
combinaciones de signos, es decir, las raíces
cuadradas posibles. Finalmente, muestra cada raíz X. Como ejemplo, se ha elegido una matriz con
cuatro autovalores [2, 5, 7, 11], mismos que pueden ser reemplazados por otros valores o
incrementarse para generar matrices de mayor dimensión.
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Algoritmo 2. Código de MATLAB para obtener las raíces cuadradas de una matriz
con espectro simple (autovalores distintos y no nulos)
clear; clc; rng(3);
% Definimos los autovalores (distintos y no nulos)
lambda = [2, 5, 7, 11];
D = diag(lambda);
n = length(lambda);
% Matriz de autovectores (aleatoria invertible)
P = randn(n) + 1i*randn(n);
while cond(P) > 1e8
P = randn(n) + 1i*randn(n);
end
% Construimos la matriz A
A = P * D / P;
% Generar las 2^n raíces
roots_all = genRoots(P,lambda,1,[]);
% Mostrar resultados
fprintf('Matriz A:\n'); disp(A);
fprintf('Número de raíces cuadradas posibles: %d\n\n', numel(roots_all));
for k = 1:numel(roots_all)
X = roots_all{k};
disp(X);
end
% Función recursiva para generar todas las raíces
function rootsList = genRoots(P,lambda,idx,current)
if idx > length(lambda)
S = diag(current .* sqrt(lambda));
X = P * S / P;
rootsList = {X};
else
roots1 = genRoots(P,lambda,idx+1,[current, +1]);
roots2 = genRoots(P,lambda,idx+1,[current, -1]);
rootsList = [roots1, roots2];
end
end
Al correr el script, se visualiza en la ventana de comandos de MATLAB en primer lugar la
Matriz A, y a continuación cada una de sus posibles raíces cuadradas, un total de 16 raíces en este
caso, corroborando que existen matrices con un número finito de raíces cuadradas.
3.3 Existen matrices con un número infinito de raíces cuadradas, siendo verificable a través
de la matriz identidad, que admite infinitas soluciones procedentes de la multiplicidad de
transformaciones ortogonales que satisfacen la ecuación
.
Se analizará el caso de
con el Algoritmo 3 implementado en MATLAB, en donde se
inserta el mismo bloque
utilizado con
, generando infinitas raíces cuadradas parametrizadas
por el ángulo .
Algoritmo 3. Código en Matlab que genera la visualización de la familia de para
clear; clc; close all;
% Rango de theta
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theta = linspace(0, 2*pi, 200);
% Inicializar matrices para guardar entradas del bloque X(theta)
a = zeros(size(theta)); % cos(theta)
b = zeros(size(theta)); % sin(theta)
d = zeros(size(theta)); % -cos(theta)
% Bucle para construir Q(theta) y guardar entradas
for k = 1:length(theta)
Q = [cos(theta(k)) sin(theta(k)) 0 0;
sin(theta(k)) -cos(theta(k)) 0 0;
0 0 1 0;
0 0 0 1];
a(k) = Q(1,1);
b(k) = Q(1,2);
d(k) = Q(2,2);
end
%% Gráfico 3D de las entradas variables
figure;
plot3(a, b, d, 'LineWidth', 2);
xlabel('a = cos(\theta)'); ylabel('b = sin(\theta)'); zlabel('d = -cos(\theta)');
title('Trayectoria de las entradas del bloque X(\theta) en Q(\theta)');
grid on; axis equal;
El algoritmo en primer lugar define
:
La Fig. 1 generada por el Algoritmo 3, muestra en tres dimensiones que las entradas del
bloque
son las que varían mientras que el bloque inferior
permanece fijo. Para los ejes de
la gráfica se ha definido ; ; .
Fig. 1. Curva en tres dimensiones que muestra la variación continua de las entradas
ante el cambio de , correspondiendo cada
punto sobre la curva a una raíz distinta de
.
Se puede visualizar que la curva de la Fig. 1 es suave y cerrada en todo su trayecto
, en concordancia con la conclusión teórica del acápite anterior: un autovalor con una
multiplicidad geométrica ≥ 2 produce infinitas raíces cuadradas.
En los 3 casos tratados, los resultados concuerdan con la teoría moderna de funciones
matriciales, tal como exponen (R. A. Horn & Johnson, 2012) y (Higham, 2008). Si bien estos
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conceptos se abordan en (Rubiales Camino, 2005) y (Asmar Charris & Menco Mendoza José T.,
1995) las conclusiones se basan en su mayoría en casos particulares, sin llegar a la generalidad. Sin
embargo, los ejemplos presentados por los citados autores permiten comprender de una manera
intuitiva la complejidad del cálculo de raíces de matrices, así como métodos para su cálculo manual.
Adicionalmente los resultados numéricos obtenidos en los tres casos mediante los algoritmos
implementados en MATLAB son consistentes con los hallazgos teóricos. Estos scripts permiten
replicar los resultados y explorar a otros casos de investigación.
4. CONCLUSIONES
Los hallazgos obtenidos en este estudio muestran que la ecuación matricial
tiene
diferentes resultados, dependientes de sus autovalores y propiedades algebraicas. Con el uso de los
enfoques teórico y computacional se demostró que:
1. No todas las matrices tienen al menos una raíz cuadrada, como se puede observar en las
matrices no diagonalizables o nilpotentes, donde las ecuaciones resultantes no tienen
solución.
2. El número de raíces cuadradas de A puede ser finito. Esto se presenta en matrices con todos
sus autovalores distintos, que arrojan exactamente
soluciones.
3. Hay matrices que poseen un número infinito de raíces cuadradas; un ejemplo representativo
de esto es la matriz identidad que, debido a su estructura, permite generar infinitas soluciones
a partir de transformaciones ortogonales.
El desarrollo y análisis de algoritmos implementados en MATLAB proporcionó
herramientas para verificar automáticamente las conclusiones descritas con diferentes parámetros,
validando los resultados teóricos y presentando instrumentos para experimentación sobre el
problema.
El uso de MATLAB u otras herramientas computacionales para incorporar métodos
numéricos y algoritmos iterativos permite abordar problemas de mayor complejidad que requieren
del cálculo de raíces de matrices de gran dimensión.
Con este estudio se establecen bases para la comprensión de la naturaleza del problema de
las raíces cuadradas de matrices, mostrando que existen líneas de investigación para trabajos
posteriores, como por ejemplo el análisis de ecuaciones matriciales polinómicas de orden superior
de la forma
con , para determinar las condiciones de existencia y multiplicidad de sus
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soluciones, lo cual permitiría explorar nuevas aplicaciones en áreas como el control automático,
salud o finanzas.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen a la Red de Investigación en Ingeniería e Informática. Ri3.
CONFLICTO DE INTERESES
Los Autores declaran que no existe conflicto de intereses, o lo que corresponda.
CONTRIBUCIÓN DE AUTORÍA
En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación de
créditos a autores de artículos científicos (https://credit.niso.org/). Los autores declaran sus
contribuciones en la siguiente matriz:
Paúl Freire Díaz
Henry Mauricio
Villa Yánez
Sonia Ríos
-
Alvares
Richard Miguel
García Ríos
Ximena López
-
Mendoza
Participar activamente en:
Conceptualización
X
X
Análisis formal
X
X
X
X
X
Adquisición de fondos
X
X
X
X
X
Investigación
X
X
X
X
X
Metodología
X
Administración del proyecto
X
Recursos
X
X
X
X
Redacción –borrador original
X
X
Redacción –revisión y edición
X
X
La discusión de los resultados
X
X
X
X
X
Revisión y aprobación de la versión final del trabajo.
X
X
X
X
X
RECONOCIMIENTO A REVISORES: (Espacio a ser llenado por la editorial)
La revista reconoce el tiempo y esfuerzo del editor / editor de sección “XXX XXXX”, y de
revisores anónimos que dedicaron su tiempo y esfuerzo en la evaluación y mejoramiento del
presente artículo.
REFERENCIAS
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Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial, 3(1), 52–62.
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Asmar Charris, A., & Menco Mendoza José T. (1995). Acerca de la raíz cuadrada de una matriz.
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